Potencial electrico de un conductor esférico
Hoy vamos a calcular el potencial eléctrico de un conductor esférico, para ello nos vamos a valer de la ley de Gauss para obtener el campo eléctrico fuera del conductor esférico. Recordemos que para esta distribución, toda la carga queda en la superficie del conductor esférico, y por esa razón el campo eléctrico dentro es igual a cero.
Por ley de Gauss sabemos que el campo eléctrico dentro del conductor esférico es:
$$E_{dentro}A = \frac{Q_{e}}{\varepsilon_o}$$
Donde A es el área del objeto, en este caso es el área de una esfera, puesto que estamos trabajando con un conductor esférico. Pero la carga encerrada dentro del conductor es cero, entonces tenemos:
$$E_{dentro} = (0 C)\left( \frac{1}{\varepsilon_o A_{esfera}}\right)$$
$$E_{dentro} = 0$$
Fuera del conductor esférico, el campo eléctrico viene dado por:
$$E_{fuera} = (Q_{e})\left( \frac{1}{\varepsilon_o A_{esfera}}\right)$$
$$E_{fuera} = (q)\left( \frac{1}{\varepsilon_o 4\pi r^2}\right)$$
$$E_{fuera} = \frac{q}{ 4\pi\varepsilon_o r^2}$$
Para obtener el potencial eléctrico de un conductor esférico en la parte de afuera, lo primero es integrar el campo eléctrico que obtuvimos para la parte exterior del conductor esférico:
$$V_{fuera} = -\int E_{fuera} dr$$
Estamos integrando a lo largo de la dirección del radio del conductor esférico desde el infinito, hasta la distancia r > R siendo R el radio de la esfera:
$$V_{fuera} = -\int_{\infty}^{r} \frac{q}{ 4\pi\varepsilon_o r^2} dr$$
$$\boxed{V_{fuera} = \frac{1}{ 4\pi\varepsilon_o } \frac{q}{r} }$$
Para obtener el potencial eléctrico de un conductor esférico en la parte de adentro, debemos hacer lo mismo que la vez anterior, pero debemos dividir la integral en dos. Una va ser desde el infinito hasta R, que es el radio de la esfera, ahí usaremos el campo eléctrico de un conductor esférico en la parte de afuera.
La otra integral será desde el radio R de la esfera, hasta la distancia r < R, una distancia que se encuentra dentro del conductor esférico. Una vez mas vamos a integrar a lo largo del camino que traza la dirección del radio del conductor esférico. $$V_{dentro} = -\int_{\infty}^{R} E_{fuera} dr -\int_{R}^{r} E_{dentro} dr$$ $$V_{dentro} = -\int_{\infty}^{R} \frac{q}{ 4\pi\varepsilon_o r^2} dr -\int_{R}^{r} (0 N/C) dr$$ $$\boxed{V_{dentro} = \frac{1}{ 4\pi\varepsilon_o } \frac{q}{R} }$$ Esto ha sido todo lo que se tuvo que hacer para calcular el potencial eléctrico de un conductor esférico.
Por ley de Gauss sabemos que el campo eléctrico dentro del conductor esférico es:
$$E_{dentro}A = \frac{Q_{e}}{\varepsilon_o}$$
Donde A es el área del objeto, en este caso es el área de una esfera, puesto que estamos trabajando con un conductor esférico. Pero la carga encerrada dentro del conductor es cero, entonces tenemos:
$$E_{dentro} = (0 C)\left( \frac{1}{\varepsilon_o A_{esfera}}\right)$$
$$E_{dentro} = 0$$
Fuera del conductor esférico, el campo eléctrico viene dado por:
$$E_{fuera} = (Q_{e})\left( \frac{1}{\varepsilon_o A_{esfera}}\right)$$
$$E_{fuera} = (q)\left( \frac{1}{\varepsilon_o 4\pi r^2}\right)$$
$$E_{fuera} = \frac{q}{ 4\pi\varepsilon_o r^2}$$
Potencial eléctrico fuera de un conductor esférico
Para obtener el potencial eléctrico de un conductor esférico en la parte de afuera, lo primero es integrar el campo eléctrico que obtuvimos para la parte exterior del conductor esférico:
$$V_{fuera} = -\int E_{fuera} dr$$
Estamos integrando a lo largo de la dirección del radio del conductor esférico desde el infinito, hasta la distancia r > R siendo R el radio de la esfera:
$$V_{fuera} = -\int_{\infty}^{r} \frac{q}{ 4\pi\varepsilon_o r^2} dr$$
$$\boxed{V_{fuera} = \frac{1}{ 4\pi\varepsilon_o } \frac{q}{r} }$$
Potencial eléctrico dentro de un conductor esférico
Para obtener el potencial eléctrico de un conductor esférico en la parte de adentro, debemos hacer lo mismo que la vez anterior, pero debemos dividir la integral en dos. Una va ser desde el infinito hasta R, que es el radio de la esfera, ahí usaremos el campo eléctrico de un conductor esférico en la parte de afuera.
La otra integral será desde el radio R de la esfera, hasta la distancia r < R, una distancia que se encuentra dentro del conductor esférico. Una vez mas vamos a integrar a lo largo del camino que traza la dirección del radio del conductor esférico. $$V_{dentro} = -\int_{\infty}^{R} E_{fuera} dr -\int_{R}^{r} E_{dentro} dr$$ $$V_{dentro} = -\int_{\infty}^{R} \frac{q}{ 4\pi\varepsilon_o r^2} dr -\int_{R}^{r} (0 N/C) dr$$ $$\boxed{V_{dentro} = \frac{1}{ 4\pi\varepsilon_o } \frac{q}{R} }$$ Esto ha sido todo lo que se tuvo que hacer para calcular el potencial eléctrico de un conductor esférico.
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