Cinemática FORMULAS y Conceptos Parte II (MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES)
En el baseball observamos siempre el lanzamiento de la pelota. Estos lanzamientos tienen una trayectoria muy característica, llamada “parábola” el estudio de este movimiento lo veremos con la cinemática en dos dimensiones. Hacer física es lo más parecido hacer brujería (tu tendrás cara de WTF en este momento) ya que con la física podemos predecir el futuro a partir de unos datos iniciales, es decir, podemos calcular donde caerá la pelota con exactitud. Veamos ahora las ecuaciones que rigen la cinemática en dos dimensiones y a utilizar los vectores como se debe.
Básicamente es lo mismo que habíamos hecho en cinemática en una dimensión, la diferencia aquí es que debemos agregar el eje “y”, es decir, hacer dos veces el mismo tipo de cálculos, una vez en vertical y otra en horizontal. La gran diferencia, es que en el movimiento vertical, siempre tendremos aceleración presente.
Si un cuerpo se mueve desde un punto P hasta un punto Q. El desplazamiento en dos dimensiones se define como el cambio en su vector posición r:
$$\Delta \vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_i$$
La velocidad promedio del cuerpo en un intervalo de tiempo delta t viene dada por
$$\vec{v}_pr = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$
Tomando el límite de la expresión anterior haciendo que delta t sea lo más pequeño posible sin ser cero, obtendremos la velocidad instantánea del cuerpo:
$$\vec{v} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$
La dirección del vector velocidad instantánea es una línea tangente al camino del cuerpo y en dirección en la que este se mueve.
La aceleración promedio de un cuerpo que se desplaza a velocidad delta v en un intervalo de tiempo delta t viene dada por la expresión:
$$\vec{a}_{pr} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$
Una vez más, si tomamos el límite en el cual delta t es suficientemente pequeño sin ser cero, obtendremos la aceleración instantánea.
$$\vec{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$
En la clase anterior vimos las ecuaciones que rigen el movimiento en una sola dirección, ahora que aumenta el nuero de dimensiones (agregamos el eje Y al plano cartesiano) seguiremos usando las mismas ecuaciones (y tu dirás WHAT?? Y pondrás la cara de la gorda meme) ya que podremos descomponer el movimiento y estudiar cada eje por separado. Como vimos en la clase 1 los vectores tienen componentes en X e Y, ya dijimos que el desplazamiento era un vector. Por ello podemos escribir las ecuaciones que rigen el movimiento de un cuerpo en el eje X con aceleración constante:
$$v_x = v_{0x} + a_x t \\
\Delta x = v_{0x}t + \frac12 a_xt^2 \\
v_x^2 = v_{0x}^2 + 2a_x\Delta x$$
Donde
$$v_{0x} = v_0cos \theta_0$$
es la componente X del vector velocidad inicial.
Las ecuaciones que rigen el movimiento de un cuerpo en el eje Y con aceleración constante son:
$$v_y = v_{0y} + a_y t \\
\Delta y = v_{0y}t + \frac12 a_yt^2 \\
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_y\Delta y$$
Donde
$$v_{0y} = v_0cos \theta_0$$
es la componente Y del vector velocidad inicial.
La rapidez del cuerpo para cualquier instante de tiempo la podemos calcular como el modulo del vector velocidad usando el teorema de Pitágoras:
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$
Para encontrar el ángulo que forma el vector velocidad con el eje X lo encontramos calculando la arcotangente del cociente entre las componentes Y e X del mismo.
$$\theta = tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$$
Si el movimiento en dos dimensiones que estamos estudiando es un lanzamiento de proyectiles limitado a la superficie de la tierra (si sale de la tierra necesitaríamos calcular la velocidad de escape, la cual veremos en la clase 2 del nivel 2 de mecánica), es muy fácil ajustar las ecuaciones de la cinemática para este caso. Solo debemos tomar a_x = 0 quedando:
$$v_x = v_{0x} = v_0cos\theta_0 = constante\\
\Delta x = v_{0x}t = (v_0cos\theta_0)t$$
Mientras que en el eje vertical Y tendríamos que cambiar a_y = -g quedando las ecuaciones como:
$$v_y = v_{0y} - g t \\
\Delta y = v_{0y}t - \frac12 gt^2 \\
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g\Delta y$$
Los problemas se resuelven por manipulaciones algebraicas de estas ecuaciones, reduciéndose siempre a un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.
Sea E un observador fijo y B un segundo observador con posición r_EB (posición de B medida desde E). Si E mide la posición de un cuerpo A que se encuentra en r_EA (posición de A medida desde E). Entonces B medirá la posición de A como:
$$\vec{r}_{AB} = \vec{r}_{AE} - \vec{r}_{BE}$$
Con las velocidades asociadas:
$$\vec{v}_{AB} = \vec{v}_{AE} - \vec{v}_{BE}$$
Donde v_AB es la velocidad de A medida desde B. Para resolver los problemas que incluyen velocidad relativa, solo hay que identificar bien las velocidades y colocar bien los subíndices. Fíjate que el primer subíndice refiere a la velocidad del cuerpo estudiado y el segundo subíndice refiere al lugar (observador o sistema de referencia) desde donde se realiza la medida.
Cinemática en dos dimensiones
Básicamente es lo mismo que habíamos hecho en cinemática en una dimensión, la diferencia aquí es que debemos agregar el eje “y”, es decir, hacer dos veces el mismo tipo de cálculos, una vez en vertical y otra en horizontal. La gran diferencia, es que en el movimiento vertical, siempre tendremos aceleración presente.
Desplazamiento velocidad y aceleración en dos dimensiones
Si un cuerpo se mueve desde un punto P hasta un punto Q. El desplazamiento en dos dimensiones se define como el cambio en su vector posición r:
$$\Delta \vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_i$$
La velocidad promedio del cuerpo en un intervalo de tiempo delta t viene dada por
$$\vec{v}_pr = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$
Tomando el límite de la expresión anterior haciendo que delta t sea lo más pequeño posible sin ser cero, obtendremos la velocidad instantánea del cuerpo:
$$\vec{v} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$
La dirección del vector velocidad instantánea es una línea tangente al camino del cuerpo y en dirección en la que este se mueve.
La aceleración promedio de un cuerpo que se desplaza a velocidad delta v en un intervalo de tiempo delta t viene dada por la expresión:
$$\vec{a}_{pr} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$
Una vez más, si tomamos el límite en el cual delta t es suficientemente pequeño sin ser cero, obtendremos la aceleración instantánea.
$$\vec{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$
Movimiento en dos dimensiones
En la clase anterior vimos las ecuaciones que rigen el movimiento en una sola dirección, ahora que aumenta el nuero de dimensiones (agregamos el eje Y al plano cartesiano) seguiremos usando las mismas ecuaciones (y tu dirás WHAT?? Y pondrás la cara de la gorda meme) ya que podremos descomponer el movimiento y estudiar cada eje por separado. Como vimos en la clase 1 los vectores tienen componentes en X e Y, ya dijimos que el desplazamiento era un vector. Por ello podemos escribir las ecuaciones que rigen el movimiento de un cuerpo en el eje X con aceleración constante:
$$v_x = v_{0x} + a_x t \\
\Delta x = v_{0x}t + \frac12 a_xt^2 \\
v_x^2 = v_{0x}^2 + 2a_x\Delta x$$
Donde
$$v_{0x} = v_0cos \theta_0$$
es la componente X del vector velocidad inicial.
Las ecuaciones que rigen el movimiento de un cuerpo en el eje Y con aceleración constante son:
$$v_y = v_{0y} + a_y t \\
\Delta y = v_{0y}t + \frac12 a_yt^2 \\
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_y\Delta y$$
Donde
$$v_{0y} = v_0cos \theta_0$$
es la componente Y del vector velocidad inicial.
La rapidez del cuerpo para cualquier instante de tiempo la podemos calcular como el modulo del vector velocidad usando el teorema de Pitágoras:
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$
Para encontrar el ángulo que forma el vector velocidad con el eje X lo encontramos calculando la arcotangente del cociente entre las componentes Y e X del mismo.
$$\theta = tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$$
Lanzamiento de proyectiles
Si el movimiento en dos dimensiones que estamos estudiando es un lanzamiento de proyectiles limitado a la superficie de la tierra (si sale de la tierra necesitaríamos calcular la velocidad de escape, la cual veremos en la clase 2 del nivel 2 de mecánica), es muy fácil ajustar las ecuaciones de la cinemática para este caso. Solo debemos tomar a_x = 0 quedando:
$$v_x = v_{0x} = v_0cos\theta_0 = constante\\
\Delta x = v_{0x}t = (v_0cos\theta_0)t$$
Mientras que en el eje vertical Y tendríamos que cambiar a_y = -g quedando las ecuaciones como:
$$v_y = v_{0y} - g t \\
\Delta y = v_{0y}t - \frac12 gt^2 \\
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g\Delta y$$
Los problemas se resuelven por manipulaciones algebraicas de estas ecuaciones, reduciéndose siempre a un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.
Velocidad relativa
Sea E un observador fijo y B un segundo observador con posición r_EB (posición de B medida desde E). Si E mide la posición de un cuerpo A que se encuentra en r_EA (posición de A medida desde E). Entonces B medirá la posición de A como:
$$\vec{r}_{AB} = \vec{r}_{AE} - \vec{r}_{BE}$$
Con las velocidades asociadas:
$$\vec{v}_{AB} = \vec{v}_{AE} - \vec{v}_{BE}$$
Donde v_AB es la velocidad de A medida desde B. Para resolver los problemas que incluyen velocidad relativa, solo hay que identificar bien las velocidades y colocar bien los subíndices. Fíjate que el primer subíndice refiere a la velocidad del cuerpo estudiado y el segundo subíndice refiere al lugar (observador o sistema de referencia) desde donde se realiza la medida.
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